통계 기본 - 3부. t-tset

01. t-test 개념

01) t-test는?

• t-test는 두 집단의 평균이 같은지 다른지를 비교하는 통계적 가설 검정 방법
• 주로 표본이 작을 때 신뢰성 있는 결과를 도출할 수 있는 방법으로, 데이터가 정규분포를 따른다고 가정함
• t-test는 아래 세 가지 주요 종류가 있음
  • Two-sample t-test
  • One-sample t-test
  • Paired t-test

 

02) t-test의 목적

• 두 집단의 평균이 같은지 다른지를 알아보기 위해 사용함
  (두 그룹 간의 차이가 유의미한지 분석)
• 두 샘플이 같은 모집단에서 나왔는지, 즉 평균이 같은지 다른지를 확인함
• 예시 : A대학과 B대학 남학생의 평균키가 같은지 다른지 확인하기 위한 t-test

 

03) z-test와 t-test의 차이

구분	공식	내용
z-test		- z-test는 모집단의 분산을 알고 있을 때 사용함
t-test		- t-test는 표본의 크기가 작거나 모집단의 분산을 모를 때 사용함 - 표본의 크기가 커질수록 t-분포는 정규분포에 가까워짐 - s : 표준편차 - n : 샘플사이즈 (one-sample t-test 공식)

 

04) t-test 프로세스

1. 두 그룹의 평균값의 차이는 우리의 핵심 관심사임
2. 두 그룹의 평균값의 차이를 분자에 둠
3. 그러나 이 값만으로 충분히 큰지 작은지 알 수 없음
4. 그래서 비교대상인 표준편차를 가져와 분모에 넣고 나누어 비율을 만듦
5. 표준편차는 의미 없는 무작위의(random) 편차임
6. 그러므로, 평균값의 차이가 표준편차보다 작거나 비슷하다면 이 평균값의 차이는 우연히 발생했다고 판단함
7. 반대로 평균값의 차이가 표준편차보다 충분히 크다면 이 평균값의 차이는 우연히 발생하지 않았다고 보고 무엇인가 원인 혹은 이유가 있다고 추정함

 

04) t-test에서 표준편차를 샘플 사이즈로 나누는 이유

(01) 모집단이 아닌 샘플을 사용하기 때문

• t-test는 모집단이 아닌 샘플 데이터를 이용해 분석함
• 모집단 전체의 데이터를 분석하는 것이 가장 정확하지만 시간과 비용 등의 제약으로 샘플을 사용하게 됨
• 이때, 샘플에서 계산한 평균과 표준편차가 모집단의 평균과 표준편차와 얼마나 일치하는지 의문이 생길 수 있음

 

(02) 샘플 사이즈의 영향

• 샘플 사이즈가 클수록 샘플의 표준편차는 모집단의 표준편차에 가까워짐
• 즉, 샘플 크기가 커질수록 데이터의 변동성이 줄어들고, 표본이 모집단을 더 잘 대표하게 됨

 

(03) 정확한 t값 계산을 위한 보정

• 샘플 크기에 따른 표준편차의 변화를 반영하기 위해 t-test에서 표준편차를 샘플 사이즈의 제곱근으로 나눔
• 이를 통해 작은 표본 크기의 경우에도 보다 정확한 t값을 계산할 수 있음

 

 

05) 자유도 (Degree of Freedom)란?

(01) 자유도의 정의

• t-value 공식(one-sample t-test) 옆에 (df=n-1) 이라는 것이 있음. 여기서 df는 자유도임
• 자유도(df, degree of freedom)는 샘플 사이즈에서 1을 뺀 값임
• 즉, 자유도는 n-1로 계산됨
• 샘플 크기가 커지면 자유도도 커지고, 샘플 크기가 작아지면 자유도는 줄어듦
• 자유도는 통계적 검정에서 샘플 크기와 관련하여 중요한 역할을 함

 

(02) 자유도의 의미

• 자유롭다는 것은 통계적으로 정규분포를 따르는 경우를 의미함
• 정규분포를 따르면 계산은 더 쉬워지고, 예측도 가능해짐
• 자유도가 클수록 t 분포는 표준 정규분포에 가까워짐
• 반면, 자유도가 작을수록 t-분포는 더 납작하고 퍼진 모양을 가짐

 

(03) t분포와 자유도

정규분포와 t분포의 관계

• 자유도가 1인 경우, t분포는 매우 넓고 낮은 곡선을 가짐
• 자유도가 증가할수록 t분포는 점점 표준 정규분포와 비슷해짐
• 예를들어, 자유도가 30이 되면 t분포는 거의 표준 정규분포와 같아짐
• 즉, 샘플 크기가 커질수록 t분포는 표준 정규분포에 가까워지며, t-test는 z-test와 유사한 결과를 도출하게 됨

 

 

 

 

02. t-test 해보기

01) 문제 상황

• A대학 남학생의 평균키는 178.5cm
• B대학 남학생의 평균키는 179.9cm
• 우리는 이 차이가 통계적으로 유의미한지 확인하기 위해 t-test를 실시함 (유의수준 0.05 양측검정)

 

02) 필요한 정보 가정

• A대학 평균키 : 178.5cm
• B대학 평균키 : 179.9cm
• 표준편차 (s) : 7.05cm
• 샘플크기 (n) : 101명

 

03) t값 계산

• t값은 두 그룹의 평균 차이를 표준편차와 샘플 크기에 따라 표준화한 값임
• 풀고자 하는 문제는 Two-sample t-test로 풀어야 하지만 설명의 용이성을 위해 One-sample t-test 공식 사용

t-value 공식

t-value 계산

• 주어진 값을 이용해 t-값을 계산하면 -1.996이 나옴

 

04) 양측검정 진행

• 귀무가설 : A대학과 B대학 남학생의 평균키는 같다
• 대립가설 : A대학과 B대학 남학생의 평균키는 다르다.

 

05) p값 계산

• t-test에서 t값을 이용하여 t-table을 참고해 p값을 계산함
• 이과정에서 임계감(critical value, c.v.)이 필요함

• t-table에서 c.v 찾는 방법
  • 양측검정(two-tails) 혹은 단측검정(one-tail) 선택하기 (여기서는 양측검정)
  • 유의수준 선택하기 (여기서는 0.05)
  • 자유도 선택하기 (여기서는 df = n - 1 = 101 - 1 = 100)
  • 유의수준과 자유도가 교체되는 부분이 임계값(c.v = 1.984)

 

06) 결론 도출

• c.v =  1.984
• t-value = 1.996
• t-value(1.996) 값은 c.v(1.984) 값보다 절대적으로 크므로 p값은 0.05 보다 작아 통계적으로 유의함
• 따라서 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택함
  • 두 대학의 남학생의 평균키의 차이 1.4cm는 우연히 발생한 것이 아니라는 결론이 나옴

 

07) 시각적 설명

• t분포곡선에서 유의수준 5%에 해당하는 면적을 좌우로 나누어 양측 2.5%씩 붉은색으로 표시함
• t값이 임계값(c.v)인 1.984를 넘으면 p값이 5%보다 작아지므로, t값이 임계값을을 넘으면 대립가설이 채택됨

 

08) 해석의 중요성

• 통계 결과에서 단순히 "유의하다"로 끝내면 안됨
• "유의하다"는 결과의 해석을 위한 시작일 뿐이며 이 결과가 무엇을 의미하는지 명확히 설명하는 것이 통계분석의 목적임
• 예를 들어, 유의한 차이가 있다는 것은 두 대학의 남학생 키 차이에 어떤 특정 요인이 작용했을 가능성이 있다는 것을 의미하며, 이러한 차이를 더 깊이 이해해야 함

 

 

 

 

03. t-test의 종류

01) t-test의 종류 개요

• t-test에는 세 가지 주요 종류가 있음
• 각 종류는 다른 상황에 적용됨
• t-test의 목적은 두 그룹 간의 차이가 유의미한지 분석하는 것
• 어떤 t-test를 사용할지는 상황에 따라 결정됨
• t-test의 각 공식은 다르지만, 공식을 외우기보다는 상황에 맞는 t-test를 선택하는 것이 중요함

 

02) Two-sample t-test (독립표본 t-test)

(01) 개념

• 두 개의 독립적인 샘플이 동일한 모집단에서 나왔는지, 즉 평균이 같은지 검증하는 방법

(02) 적용 예시

• A대학과 B대학 남학생의 평균키가 같은지 여부를 분석할 때 사용됨

(03) 공식

• 자유도는 두 샘플의 크기에 따라 달라짐
• 외울필요는 없음

 

03) One-sample t-test

(01) 개념

• 하나의 샘플이 주어졌을 때, 그 샘플의 평균이 특정 값과 같은지 여부를 검증하는 방법

(02) 적용 예시

• 특정 대학 남학생의 평균키가 전국 20대 남성 평균키와 같은지 여부를 확인할 때 사용

(03) 공식

• 한 그룹의 데이터를 특정 값과 비교함

 

04) Paired t-test

(01) 개념

• 동일한 샘플을 두 번 측정하여, 두 시점 간의 차이를 검증하는 방법
• 반복 측정된 데이터를 비교할 때 주로 사용

(02) 적용 예시

• 새로운 교재로 강의한 것이 학생들의 실력향상에 도움이 되었는지 검증하고자 같은 학생들이 서로 다른 교재로 중간고사와 기말고사를 치르고, 두 시험 간 성적 차이를 비교할 때 사용

(03) 공식

• diff : 차이(difference)를 의미함
• 분자에는 동일 학생의 두 번의 점수의 차이값의 평균
• 분모에는 차이의 표준편차

 

 

 

04. t-test 유의사항

• t-test의 각 종류는 분석하려는 데이터 구조에 맞게 사용됨
• 각 t-test 공식 자체를 무작정 외우기 보다 각 상황에 맞는 t-test를 선택하는 것이 중요함
• 공식을 암기하는 것은 바보같은 일이며 계산은 컴퓨터 프로그램이 알아서 해줌

 

 

 

본 포스팅은 웹 도서 <통알못을 위한 기초통계1>을 참고하여 포스팅하였습니다.

아래 링크에 가시면 더욱 자세하고 좋은 내용이 있습니다.

https://who4u78.github.io/book1/